Как найти производную сложной функции?

[Кирилл]

Всем привет)
Может кто то помочь разобраться с тем, как правильно искать производную сложной функции?
Сам принцип, как это делается, мне известен. Но этот пример что то не поддается.

Что то не идет никак...

 

[VexMD]

Если еще актуально:
по определению x=e^lnx, поэтому
d(x^x)/dx=d((e^lnx)^x)/dx=d(e^(x*lnx))/dx= e^(x*lnx)*(1*lnx+x*1/x)=(x^x)*(lnx+1)

 

[Кирилл]

Актуально.
Можно пояснить, почему x=e^ln x, а не x^y ln x?

 

[VexMD]

а что такое "у" в вашем выражении ?
Если имеется ввиду у=lnx, то по определению логарифма е^у=х, то есть е^lnx=x

 

[Кирилл]

VexMD, извиняюсь, ввел смуту.
Как я понимаю, нужно производную внешнюю помножить на производную внутренней, так?

---

Производная выражения g1^g2' = g1^g2 ln(g1)
Производная второй функции g2' = 1, то есть и есть решение.

Вы говорите, что x=e^ln(x), следовательно уже имеем: (e^ln(x))'^x * x'
Вот этот момент и не понятен.

 

[thyrex]

MathCAD дает точно такое выражение для производной, как предоставил VexMD. Для подобных сложных функций типа x^x нужен нетривиальный подход со сведением решения к более простому случаю. Потому и было применено основное логарифмическое тождество именно для основания.

 

[VexMD]

Вот наткнулся:

Найдите производную функции x^x ★ 2 способа

★ Как находить производные показательно-степенных функций. Ютуб: https://www.youtube.com/valeryvolkov Семейный Дзен:…

m.zen.yandex.ru

 

[Кирилл]

Спасибо.
Вроде разобрался, даже потренировался немного)
Я ранее приходил к такому решению, но система почему то ответ не приняла и я посчитал, что ответ не верный.